La diversificazione di Markowitz è alla base della Moderna Teoria del Portafoglio che ha lo scopo di individuare le combinazioni efficienti. Sono efficienti i portafogli che massimizzano il rendimento atteso dato il valore della deviazione standard o viceversa minimizzano il rischio dato il rendimento atteso.

La Moderna Teoria del Portafoglio si fonda su alcune ipotesi essenziali e in particolare:

  • gli investitori si propongono di massimizzare l’utilità attesa della ricchezza al termine del periodo di investimento;
  • gli investitori sono avversi al rischio;
  • il periodo di investimento è unico e i portafogli non possono essere modificati;
  • i portafogli sono scelti secondo il rendimento atteso e la deviazione standard;
  • non esistono costi di transazione ed imposte;
  • i titoli sono perfettamente divisibili e di ciascuna attività può essere acquistata e venduta qualsiasi quantità per quanto piccola;
  • il mercato è di concorrenza perfetta e gli investitori sono price takers (non sono singolarmente in grado di influire sui prezzi);
  • le attività sono rischiose;
  • non tutti i titoli hanno il medesimo rendimento atteso e non e non esistono attività perfettamente negativamente correlate.

L’individuazione delle combinazioni efficienti si realizza al termine di un processo decisionale che si può scindere in più fasi:

  • stima del rendimento atteso, della deviazione standard e della covarianza per i titoli considerati;
  • formazione dei portafogli possibili combinando le varie attività;
  • individuazione delle combinazioni con il maggiore rendimento atteso (dato il rischio). Questi portafogli hanno anche la proprietà di essere minimum variance e sono nel tratto efficiente della frontiera.

Il primo passo da compiere è la stima dei dati rilevanti ai fini della costruzione del portafoglio e cioè: il rendimento atteso, la deviazione standard e la covarianza di ciascuna coppia di titoli.

Una volta definiti e stimati i dati necessari i titoli vengono combinati facendo variare il valore del peso ωi in modo da poter costruire la frontiera efficiente.

Nei modelli di portafoglio media-varianza la scelta delle quote da assegnare a ciascun titolo all’interno del portafoglio deriva esclusivamente dalla soluzione del seguente problema di ottimizzazione vincolata:

marcowitz

La soluzione del problema ci consente di determinare tutte le possibili combinazioni efficienti. L’area AEBF comprende tutte le possibili combinazioni dei titoli. Nella curva AEB viene individuata, invece, la frontiera che accoglie le combinazioni con rischio minimo per ciascun rendimento atteso. Il segmento AE disegna la frontiera efficiente lungo la quale si collocano i mix minimum variance con il rendimento maggiore. Se consideriamo, ad esempio i due portafogli C e H: essi hanno lo stesso rischio, ma però un rendimento atteso diverso. L’investitore sceglierà il portafoglio C essendo un portafoglio dominante.

frontiera efficiente

Una delle ipotesi del modello di Markowitz è che tutti i titoli hanno varianza positiva. Tobin rimuove l’assunto introducendo un attività F free – risk che può essere acquistata e venduta allo scoperto. Poiché F è un obbligazione, l’investimento è un prestito con rischio nullo; acquisire F è sinonimo di concedere credito e vendere F è sinonimo di ottenere un prestito. Una condizione del modello è la non negatività di ωi per i titoli rischiosi e cioè non è ammessa la vendita allo scoperto. L’introduzione nel portafoglio di un titolo free – risk modifica anche la frontiera efficiente la quale diventa lineare.

Con una serie di trasformazioni si può dimostrare che il rendimento atteso del generico portafoglio costituito con un’attività rischiosa e un’attività free – risk è:

valore atteso

La risultante è l’equazione di una retta con intercetta in e con inclinazione I. Ciascun punto rappresenta un particolare valore di ωi, cioè una specifica combinazione tra l’attività F e il titolo rischioso.

frontiera efficiente 2

Sostituendo il titolo i con un generico portafoglio P di attività rischiose, avremo infinite frontiere lineari. Nell’ipotesi che si possa vendere allo scoperto anche i titoli rischiosi, massimizzando l’inclinazione della retta avremo anche il portafoglio di mercato P.

frontiera efficiente 3

La possibilità di vendere allo scoperto titoli free – risk ci consente ti ottenere portafogli che a parità di rischio offrono un rendimento maggiore rispetto ai portafogli costituiti esclusivamente con attività rischiose.

Leggi anche: Come allocare le risorse finanziarie in modo ottimale: Asset allocation