Il modello Black e Litterman e il portafoglio ottimale

Quando si effettua un investimento in strumenti finanziari e/o reali, la scelta degli strumenti non può essere casuale, ma deve derivare dallo svolgimento del processo di asset allocation, ossia il processo di suddivisione delle risorse finanziarie fra le varie asset class, le quali possono essere suddivise, principalmente, in due grandi gruppi: attività finanziarie e attività reali.

La scelta delle asset class, su cui investire, deve essere coerente con i risultati ottenuti dalla pianificazione finanziaria e deve tener conto anche del proprio profilo di rischio. Se ad esempio il soggetto ha un profilo di rischio basso, non deve investire in azioni o in bitcoin, oppure se i soldi li servono dopo un anno non deve investire in asset class poco liquide come le opere d’arte o gli immobili.

Essendo l’asset allocation un processo molto complesso, porta alla necessita di avere conoscenze approfondite e strumenti di analisi adeguati, altrimenti si rischia di fare danni e perdere anche l’intero capitale investito. 

In sostanza l’asset allocation ha il compito di raggiungere una gestione ottimale del portafoglio, ossia una gestione che equilibri nel miglior modo possibile il rendimento e il rischio delle attività alle esigenze e alle aspettative dell’investitore. Grazie ad un portafoglio di investimento diversificato e ottimizzato si può realizzare un rendimento maggiore a parità di rischio assunto oppure un rischio minore a parità di rendimento. Alcuni dei principali modelli che vengono utilizzati per creare un portafoglio diversificato e ottimizzato sono il modello di Marcowitz e il modello di Black e Litterman.

Perché non conviene utilizzare il modello di Marcowitz

Nonostante l’importanza scientifica che riveste il modello di Marcowitz per tutta la materia finanziaria, il suo utilizzo pratico nella realtà da parte degli investitori è stato veramente contenuto. La sua validità è messa in discussione per due ragioni:

  • La stima dei rendimenti attesi per tutti gli N asset è richiesta come input.
  • I risultati dell’analisi media-varianza sono altamente sensibili alle assunzioni sui rendimenti utilizzati.

Riguardo al primo problema, non solo i rendimenti attesi sono particolarmente difficili da stimare, ma gli investitori posseggono previsioni dettagliate solo con riferimento a pochi titoli o mercati. Pertanto essi non possono far altro che affidarsi ai rendimenti storici che, chiaramente, non consentono una efficiente previsione dei rendimenti futuri. Per quanto riguarda il secondo problema, il modello non offre dei risultati che possano essere considerati veramente affidabili dato che massimizza l’errore di stima degli input, portando a sovrastimare quei titoli che presentano un elevato rendimento atteso, basso rischio e bassa correlazione con gli altri titoli. L’effetto di questo problema si nota nella composizione del portafoglio finale, che risulta essere molto concentrata in pochi asset. Inoltre il modello, oltre a non essere affidabile nei risultati, non è nemmeno affidabile nel tempo dato che è sufficiente una piccola variazione negli input per ottenere come output una media, una varianza e una composizione del portafoglio ottimo completamente diversi da quelli calcolati precedentemente.

Dal modello di Markowitz sono nati altri modelli e approcci volti ad offrire un’alternativa agli investitori che volessero affidare le proprie scelte d’investimento ad un modello matematico affidabile. Uno degli ultimi in ordine di tempo è il modello sviluppato dagli americani Fisher Black e Robert Litterman all’interno di Goldman Sachs nei primi anni Novanta.

Il modello Black e Litterman

Il modello Black e Litterman riesce a superare i problemi di “input intensivity”, concentrazione in pochi titoli e poca intuitività dei portafogli derivanti dall’applicazione del modello di Markowitz. Nel modello viene utilizzato un approccio bayesiano per combinare le views soggettive di un investitore, riguardo ai rendimenti attesi di uno o più titoli, con il vettore dei rendimenti attesi (la distribuzione a posteriori).

I rendimenti attesi di equilibrio rappresentano il punto di partenza e un riferimento neutrale per i rendimenti attesi. Essi permettono al modello di generare portafogli ottimi molto più stabili rispetto alla situazione in cui sono utilizzate altre stime dei rendimenti.

Per il calcolo dei rendimenti attesi di equilibrio può essere utilizzato il CAPM oppure un metodo di ottimizzazione inversa nel quale il vettore dei rendimenti impliciti di equilibrio è estratto dal vettore dei pesi di capitalizzazione di mercato. La seconda modalità di calcolo rimane quella più utilizzata dagli operatori del settore.

La caratteristica più innovativa del modello consiste nella combinazione delle aspettative dell’investitore con il vettore dei rendimenti attesi di equilibrio. Si ottiene una nuova distribuzione dei rendimenti attesi e l’intero vettore dei rendimenti medi attesi da inserire nell’ottimizzazione media-varianza viene modificata. Questa rettifica permette di ridurre le opportunità di arbitraggio che deriverebbero dalle pur minime differenze tra i rendimenti attesi di equilibrio e le previsioni soggettive dell’investitore, evitando così portafogli pesantemente concentrati in pochi titoli.

La formula principale del modello Black e Litterman, che costituisce la stima rivisitata dei rendimenti attesi, data l’informazione sui rendimenti attesi impliciti di equilibrio e quella sulle previsioni soggettive, è la seguente:

E[R] = [(τΣ)-1 + P’Ω-1P]-1[(τΣ)-1Π + P’Ω-1Q]

Dove:

  • E[R] è il nuovo vettore “combined” degli rendimenti attesi.
  • τ è uno scalare compreso tra 0 e 1 che indica l’incertezza della stima del valore di equilibrio. Solitamente, per convenzione, τ viene compreso tra 0,01 e 0,05.
  • Σ è una matrice (N x N) delle covarianze dei rendimenti storici.
  • P è una matrice (K x N) che mette in relazione le K views con gli N assets.
  • Ω è una matrice diagonale (K x K) delle covarianze delle views, che rappresenta l’incertezza dell’investitore per ogni views e che assume valori nulli su tutti i termini al di fuori della diagonale principale.
  • è un vettore (N x 1) dei rendimenti attesi impliciti d’equilibrio.
  • Q è un vettore (K x 1) dei rendimenti attesi espressi dalle views.

Il termine di errore di ogni view, presente nella diagonale della matrice delle covarianze delle views (Ω) può essere calcolata con la seguente formula, proposta da He e Litterman:

ɯk = (pkΣpk’)τ

Dove:

  • pk è un singolo vettore riga (1 x N) della matrice P, corrispondente a una singola view.

A sua volta, il rendimento atteso implicito d’equilibrio è dato dalla seguente formula:

Π = λΣwmkt

Dove:

  • λ è il coefficiente di avversione al rischio di mercato.
  • wmkt è un vettore (N x 1) dei pesi di capitalizzazione di mercato degli assets.

A sua volta, il coefficiente di avversione al rischio di mercato è dato dalla seguente formula:

λ = (E[Rm] − Rf) / σ2

Dove:

  • E[Rm] è il rendimento atteso del portafoglio di mercato.
  • Rf è il rendimento del titolo risk free.
  • σ2 è la varianza del portafoglio di mercato.

Invece, la varianza nel modello Black e Litterman è data dalla seguente formula:

Σp = Σ + [(τΣ)-1 + (P’Ω-1P)]-1

A questo punto del processo di costruzione del portafoglio ottimo “Black e Litterman”, tali rendimenti e la nuova matrice di varianze e covarianze sono utilizzati come input in una procedura di ottimizzazione media-varianza. E[R] sarà quindi il vettore dei rendimenti attesi da inserire nel problema di massimizzazione per calcolare i nuovi pesi di portafoglio raccomandati da Black e Litterman. I pesi ottimali “combined, saranno espressi dalla seguente formula:

wp = (λΣ)-1E[R]

Nel caso limite in cui l’investitore non presenta alcuna view sui rendimenti attesi deterrà il portafoglio di mercato come implicito dall’equilibrio della logica del CAPM, dunque:

se P =0 avremmo E[R] = Π

Ciò significa che i rendimenti attesi di Black e Litterman coincidono con i rendimenti impliciti di equilibrio.

Invece, nel caso in cui l’investitore non presenta esplicite views su di un particolare titolo, il fatto che tutti i titoli siano in qualche modo correlati implica che rispetto a quel titolo è come se effettivamente fossero state considerate delle views implicite dallo stesso investitore. Le views implicite sono dovute alle views sugli altri titoli esplicitamente espresse e alla matrice delle covarianze dei titoli.

Nella seguente figura, tratta da Idzorek (2005), si può osservare uno schema riassuntivo del procedimento da seguire per attuare il modello Black e Litterman in cui si ritrovano tutti i parametri spiegati fino adesso. L’investitore deve calcolare due distribuzioni distinte, quella di equilibrio N ~ (Π, τΣ) e quella relativa alle views N ~ (Q, Ω), e metterle insieme attraverso il teorema di Bayes per arrivare ad ottenere la nuova distribuzione dei titoli considerati da inserire nel portafoglio. Per ottenere il portafoglio ottimo finale, i rendimenti e la varianza calcolati, dovranno essere inseriti come input all’interno del processo di ottimizzazione standard di Markowitz.

L’implementazione del modello Black e Litterman

Nella seguente schema è sintetizzato il procedimento per l’implementazione del modello di Black e Litterman.

La procedura per l’implementazione del modello di Black e Litterman può sembrare complicata per la maggior parte delle persone, comunque, oggi tutti possono utilizzare tale modello senza difficoltà per creare un portafoglio diversificato e ottimale grazie ai diversi software presenti sul mercato, i quali permettono di fare tutto con pochi comandi.

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