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options opzioni black and scholesLe opzioni sono strumenti finanziari che danno al compratore il diritto, ma non l’obbligo, di acquistare una data quantità di una attività finanziaria sottostante, come ad esempio azioni, obbligazioni, valute, commodities, indici di borsa ad un prezzo di esercizio fissato, ad una data specifica o entro tale data.

Se l’opzione può essere esercitata solo alla scadenza, si tratta di opzioni europee. Se, invece, l’opzione può essere esercitata in qualunque momento entro la data di scadenza, si chiamano opzioni americane.

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Opzioni Call e Opzioni Put

In base al diritto che si acquista con le opzioni possiamo suddividerli in due maxi categorie: Opzioni Call e Opzioni Put.

Le opzioni Call garantiscono al possessore il diritto di ricevere a scadenza o entro la scadenza e ad un prezzo prefissato il sottostante, oppure quando non possibile ad esempio per opzioni su indici di borsa, il corrispettivo in denaro. L’esercizio di questo diritto avverrà solo se il prezzo del sottostante sarà superiore allo prezzo di esercizio (strike price) ed il profitto realizzato sarà pari alla differenza tra il prezzo di mercato e lo strike price. Altrimenti l’esercizio di tale diritto non avrebbe senso.

Tutto questo si può spiegare facilmente con un grafico che sintetizza i profitti e le perdite relative all’uso di opzioni Call. Nell’asse orizzontale del grafico viene indicato il prezzo del sottostante, invece nell’asse verticale viene indicato il profitto o la perdita dell’acquirente dell’opzione Call.

L’acquisto di una opzione Call ha un costo e si tratta del prezzo di acquisto iniziale ed è per tale motivo che il grafico del payoff della Call ha partenza in territorio negativo. In caso di ribasso dei prezzi, il valore della Call tenderà a zero e la massima perdita che l’investitore sosterrà sarà il premio pagato.

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L’acquisto di opzioni Call avviene di solito da coloro che:

  • Scommettono sul rialzo del mercato senza correre il rischio, in caso di ribasso, di subire le perdite in conto capitale connesse con il possesso diretto del sottostante.
  • Intendono acquistare l’attività sottostante, ma vogliono differire nel tempo le uscite finanziarie che l’acquisto diretto del titolo comporterebbe.

A differenza delle opzioni Call, le opzioni Put garantisce al possessore il diritto di vendere a scadenza il sottostante ad un prezzo prefissato. L’esercizio di questo diritto avrà senso solo se il prezzo del sottostante sarà inferiore allo strike price. Il profitto realizzato sarà dato dalla differenza tra lo strike price e il prezzo di mercato.

Anche nel caso delle Opzioni Put spieghiamo tutto con un grafico. In questo caso il profitto massimo è dato dalla differenza dal valore dello strike meno il prezzo di mercato mentre la perdita massima è determinata dal premio iniziale.

opzioni put options profitto perdita

L’acquisto di opzioni Put avviene di solito da coloro che:

  • Vogliono scommettere sul ribasso del mercato senza i costi connessi con lo Short selling e senza le perdite subite se il mercato va in direzione opposta a quella sperata.
  • Desiderano proteggere il proprio portafoglio da ribassi del mercato. Ad esempio acquistare un titolo azionario e un’opzione Put su quel titolo, si ha la garanzia di ottenere i guadagni in conto capitale sul titolo in caso di mercato in salita e al tempo stesso di evitare di perdere se il mercato dovesse scendere.

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Come valutare le Opzioni europee che NON pagano dividendi con Black and Scholes

Prima di acquistare opzioni, sia Call che Put, il primo passo da fare e valutare se il prezzo di acquisto è quello giusto oppure no. Per la valutazione del prezzo dell’opzione esistono di versi modelli, ma il più conosciuto è il Modello Black and Scholes che, però, si utilizza solo per la valutazione delle opzioni europee.

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l modello di Black e Scholes si basa su alcune ipotesi:

  1. Il prezzo del titolo sottostatane è un moto browniano geometrico con media e varianza noti e costanti nel tempo
  2. Il prezzo di esercizio dell’opzione e noto e costante nel tempo e il titolo sottostante non distribuisce dividendi.
  3. Il mercato è perfetto, ovvero:
  • È perfettamente competitivo, cioè gli operatori non sono in grado di influenzare il prezzo dei titoli con le loro operazioni
  • È privo di attriti, cioè non ci sono costi di transazione, tasse ed e possibile vendere allo scoperto senza nessuna penalità
  • Si può acquistare e/o vendere in quantità arbitrarie ed infinitamente divisibili ad un tasso di interesse costante e che coincide con il tasso di rendimento dei titoli a capitalizzazione integrale zero coupon bond
  • C’è assenza di arbitraggi non rischiosi.

Si noti che le prime due ipotesi sono tecniche di minimo impatto sui risultati che otterremo, l’ipotesi di non arbitraggio e invece cruciale. Se il mercato risponde a queste caratteristiche, il modello in esame offre una base rigorosa per calcolare il valore.

In base al modello Black and Scholes, il prezzo di un’opzione Call europea, con scadenza T, valutata in t, è dato dalla seguente formula:

ozpioni call options black e scholes

Invece, il prezzo di un’opzione Put europea, è data dalla seguente formula:

opzioni put options black e scholes

Dove:

S(t) è il prezzo del titolo sottostante

K è il prezzo d’esercizio dell’opzione

r è il tasso d’interesse privo di rischio, espresso in base annua

N () denota la funzione di ripartizione di una variabile casuale normale

Invece:

opzioni options call put black scholes

Dove:

Ϭ è la deviazione standard del logaritmo del prezzo del titolo sottostante, espressa anch’essa su base annua.

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Come valutare le Opzioni europee che pagano dividendi con Black and Scholes

Nel caso in cui l’attività sottostante paga dividendi è necessario fare delle modifiche alle formule sopra presentate, che vengono utilizzate solo per le opzioni europee che hanno come sottostante titoli che non pagano dividendi. Le ipotesi su cui si basa il modello non cambiano.

Consideriamo il caso di un’opzione Call che ha come sottostante un titolo azionario che paga dividendi in diversi momenti nell’anno. Supponiamo che, l’ammontare dei dividendi sarà pagato entro un intervallo di tempo infinitesimale [t, t+dt] ed è dato da q*S(t)*dt dove q è una costante reale, e indica il tasso istantaneo del dividendo.

La formula per calcolare il prezzo dell’opzione Call, nel caso in cui il titolo paga dividendi sarà:

opzioni call put dividendi black scholes

La formula per calcolare il prezzo dell’opzione Put, nel caso in cui il titolo paga dividendi, sarà:

P(S, t) = 1 – C(S, t)

Dove:

q è una costante reale che indica il tasso istantaneo di dividendo

S(t) è il prezzo del titolo sottostante

K è il prezzo d’esercizio dell’opzione

r è il tasso d’interesse privo di rischio, espresso in base annua

N () denota la funzione di ripartizione di una variabile casuale normale

Ricordiamo che ci sono altre derivazioni del modello di Black and Scholes come il caso delle opzioni su futures.

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Conclusioni

Ricordiamo che il Modello di Black and Scholes, come la maggior parte dei modelli che vengono utilizzate in finanza si basano su ipotesi spesso non vere ed è per questo motivo che si devono utilizzare ed interpretare con cautela.

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